用 FPGA 产生高斯白噪声序列的一种快速方法

0 引言

短波信道存在多径时延、多普勒频移和扩散、高斯白噪声干扰等复杂现象。为了测试短波通信设备的性能，通常需要进行大量的外场实验。相比之下，信道模拟器能够在实验室环境下进行类似的性能测试，而且测试费用少、可重复性强，可以缩短设备的研制周期。所以自行研制信道模拟器十分必要。

信道模拟器可选用比较有代表性的 Watterson 信道模型 ( 即高斯散射增益抽头延迟线模型 ) ，其中一个重要环节就是快速产生高斯白噪声序列，便于在添加多普勒扩展和高斯白噪声影响时使用。传统的高斯白噪声发生器是在微处理器和 DSP 软件系统上实现的，其仿真速度比硬件仿真器慢的多。因此，选取 FPGA 硬件平台设计高斯白噪声发生器可以实现全数字化处理，同时测试费用少、可重复性强、实时性好、速度快，能较好地满足实验需求。

本文提出了一种基于 FPGA 的高斯白噪声序列的快速产生方案。该方案根据均匀分布和高斯分布之间的映射关系，采用适合在 FPGA 中实现的折线逼近法。该方法实现简单，快速且占用的硬件资源少，而且采东莞电感厂用 VHDL 语言编写，可移植性强，并可灵活地嵌入调制解调器中使用。

1 均匀分布随机数发生

1.1 m 序列发生器

伪随机噪声具有类似随机噪声的一些统计特功率电感器性，且便于重复产生和处理，因此获得了广泛的应用。 m 序列就是一种常用的伪随机序列，该序列又被称作最长线性反馈移存序列。 m 序列是由线性反馈移位寄存器产生的周期最长的一种序列。如果选用 n 级线性反馈移位寄存器，则 m 序列的周期为 (2n-1) 。对于 m 序列来说，将 n 级线性反馈移位寄存器状态看成无符号整数，则状态的取值范围为 1 ～ (2n-1) ，并且在 m 序列的一个周期内，移位寄存器的每种状态都会出现且只出现一次，但要注意线性反馈移位寄存器的初始状态设定为非零值，并且在给定任意非零初始状态时， m 序列的周期都不变。显然，移位寄存器的状态值是服从均匀分布随机数。制作 m 序列发生器时，线性反馈移位寄存器的反馈线连接情况可通过查找本原多项式来得到 ( 系数为 1 表示对应位有反馈线连接，为 0 表示对应位无反馈线连接 ) 。所以，线性反馈移位寄存器反馈线的数目以及模 2 加法器的数目直接决定于本原多项式的项数。为降低硬件资源的消耗，设计时可选取项数少的本原多项式。为了使伪随机序列的周期足够长以满足设计要求，采用的本原多项式为： x18+x7+1 ，即用一个 18 级线性反馈移位寄存器就可产生周期为 (218-1) 的 m 序列。其连线如图 1 所示。

1.2 降低相关性模块

高斯白噪声信号是一个随机过程，每个样值点都是一个高斯变量，其双边功率谱密度为常数 N0 ／ 2 ，即：

由 (2) 式可见，高斯白噪声在任意两个不同时刻的采样信号是统计独立的。但是，从 m 序列的产生过程可见，每个时钟周期中，线性反馈移位寄存器只移出一个最高位，并反馈一个值给最低位，所以，相邻的几个状态之间不是完全独立的。这必然影响高斯白噪声任意两个不同时刻采样信号之间的独立性。所以要进行非相关性操作。为了减小相关性，通常的方法是产生高斯序列后再接一个交织器，把高斯序列出现的前后顺序打乱。但建交织器要占用 FPGA 的硬件资源，所以，本设计不采用交织器。

考虑到 m 序列的周期为 (2n-1) ，第 2n 个值往后都是不断重复第 1 个到第 (2n-1) 个状态。所以只共模电感器要线性反馈移位寄存器每隔 r 个同步时钟 ( 其中 r=2i ， i 为整数 ) 输出一个状态值 功率电感( 即线性反馈移位寄存器每变换 r 个状态输出一次状态值 ) ，就能在不改变 m 序列原有周期的情况下减小相关性，且不增加硬件资源的消耗。但要注意： r 一定要是 2 的幂电感生产厂家，这样才能保证 m 序列的周期不变。

2 均匀分布向高斯分布的转换

2.1 均匀分布和高斯分布之间的映射关系

设 X 服从 [1 ， 218-1] 区间内的均匀分布； Y 服从均值为 0 、方差为 1 的标准正态分布，那么，考虑到高斯分布的实际情况， Y 仅在 [-4 ， 4] 之间取值即可。 Y 的概率密度函数为：

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