小波变换和motion信号处理（一）
来源： 作者： 发布时间：2014-12-02 13:29:46 浏览量：那小波是什么呢?是一种能量在时域非常集中的波。它的能量是有限的，而且集中在某一点附近。比如下面这样：
这种小波有什么好处呢?它对于分析瞬时时变信号非常有用。它有效的从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析，解决了傅立叶变换不能解决的许多困难问题。恩，以上就是通常情况下你能在国内网站上搜到的小波变换文章告诉你的。但为什么呢?这是我希望在这个系列文章中讲清楚的。不过在这篇文章里，我先点到为止，把小波变换的重要特性以及优点cover了，在下一篇文章中再具体推导这些特性。
小波变换的一体成型电感器本质和傅立叶变换类似，也是用精心挑选的basis来表示信号方程。每个小波变换都会有一个mother wavelet，我们称之为母小波，同时还有一个scaling function，中文是尺度函数，也被成为父小波。任何小波变换的basis函数，其实就是对这个母小波和父小波缩放和平移后的集合。下面这附图就是某种小波的示意图：
从这里看出，这里的缩放倍数都是2的级数，平移的大小和当前其缩放的程度有关。这样的好处是，小波的basis函数既有高频又有低频，同时还覆盖了时域。对于这点，我们会在之后详细阐述。
小波展开的形式通常都是这样(注意，这个只是近似表达，严谨的展开形式请参考第二篇)：
其中的
就是小波级数，这些级数的组合就形成了小波变换中的基basis。和傅立叶级数有一点不同的是，小波级数通常是orthonormal basis，也就是说，它们不仅两两正交，还归一化了。小波级数通常有很多种，但是都符合下面这些特性：
功率电感1. 小波变换对不管是一维还是高维的大部分信号都能cover很好。这个和傅立叶级数有很大区别。后者最擅长的是把一维的，类三角波连续变量函数信号映射到一维系数序列上，但对于突变信号或任何高维的非三角波信号则几乎无能为力。
2. 围绕小波级数的展开能够在时域和频域上同时定位信号，也就是说，信号的大部分能量都能由非常少的展开系数，比如a_{j,k}，决定。这个特性是得益于小波变换是二维变换。我们从两者展开的表达式就可以看出来，傅立叶级数是
，而小波级数是
。
3. 从信号算出展开系数a需要很方便。普遍情况下，小波变换的复杂度是O(Nlog(N))，和FFT相当。有不少很快的变换甚至可以达到O(N)，也就是说，计算复杂度和信号长度是线性的关系。小波变换的等式定义，可以没有积分，没有微分，仅仅是乘法和加法即可以做到，和现代计算机的计算指令完全match。
可能看到这里，你会有点晕了。这些特性是怎么来的?为什么需要有这些特性?具体到实践中，它们到底是怎么给小波变换带来比别人更强的好处的?计算简单这个可能好理解，因为前面我们已经讲过正交特性了。那么二维变换呢?频域和时域定位是如何进行的呢?恩，我完全理解你的感受，因为当初我看别的文章，也是有这些问题，就是看不到答案。要说想完全理解小波变换的这些本质，需要详细的讲解，所以我就把它放到下一篇了。
接下来，上几张图，我们以一些基本的信号处理来呈现小波变换比傅立叶变换好的地方，我保证，你看了这个比较之后，大概能隐约感受到小波变换的强大，并对背后的原理充满期待:)
假设我们现在有这么一个信号：
看到了吧，这个信号就是一个直流信号。我们用傅立叶将其展开，会发现形式非常简单：只有一个级数系数不是0，其他所有级数系数都是0。好，我们再看接下来这个信号：
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