雷达成像近似二维模型及其超分辨算法

图1　二维雷达目标几何图

　　由于观测角Δθ很小，取近似sin(nδθ)≈nδθ和cos(nδθ)≈1，则式(2)可近似写成:

　(3)

式中
　　式(3)指数项中的第三项是时频耦合项，它是线频调信号(其模糊函数为斜椭圆)所特有的，如果采用窄脉冲发射，则该项不存在.将该项忽略，则式(3)成为常用的回波二维正弦信号模型.
　　实际上，式(3)的第三项系“距离移动”项，它与散射点的横坐标xk成正比，目标区域大时必须考虑，而且这还远远不够，散射点的多普勒移动也必须考虑.为此，令sin(nδθ)≈nδθ和cos(nδθ)≈1-(nδθ)2/2，则式(2)较精确的近似式可写成：

　(4)

式(4)与式(3)相比较，指数中增加了两项，其中前一项是“多普勒移动”项，纵坐标yk越大，影响也越大，这可以补充式(3)之不足；而后项是时频耦合的多普勒移动项，由于Mγ/Fs<<fc，它的影响可以忽略.因此，可将考虑MTRC情况下，回波二维模型的一阶近似式写成：

　(5)

　　需要指出，每个散射点的参数之间存在下述关系：ωk/μk=2γ/Fsfcδθ2和k/vk=fcFs/γδθ.由于雷达参数(fc,γ,Fs)和运动参数(δθ)均已知，所以待估计的五个参数中只有三个是独立的.本文假共模电感器设五个参数是独立的，而在成像计算中已考虑参数之间的关系.
　　设{ξk}Kk=1≡{αk,ωk,k,μk,vk}Kk=1，现在我们要从y(m,n)中估计参量{ξk}Kk=1.

三、二维推广的RELAX算法
　　对于(5)式所示的信号模型，令：

Y=［y(m,n)］M×N

则　(6)
式中

　　设ξk估计值为，则ξk的估计问题可通过优化下述代价函数解决：

　(7)

式中‖.‖F表示矩阵的Frobenius范数，⊙表示矩阵的Hadamard积.
功率电感器　　上式中C1的最优化是一个多维空间的寻优问题，十分复杂.本文将RELAX［3］算法推广以求解.为此，首先做以下准备工作，令：

　(8)

　　即假定{i}i=1,2,…,K,i≠k已经求出，则式(7)C1的极小化等效于下式的极小化：

C2(ξk)=‖Yk-αk(aM(ωk)bTN(k)Pk)⊙Dk(vk)‖2F　(9)

令：　　Zk=YkP-1k⊙Dk(-vk)　(10)
　　由于Pk为酉矩阵，矩阵Dk的每个元素的模|Dk(m,n)|=1,显然矩阵Yk与Zk的F范数相同，故C2的极小化等效于下式的极小化：

C3=‖Zk-αkaM(ωk)bTN(k)‖2F　(11)

　　对上式关于αk求极小值就获得αk的估计值k：

k=aHM(ωk)Zkb*N(k)/(MN)　(12)

　　从式(12)可以看出：是Zk归一化的二维离散傅里叶变换在{ωk,k}处的值，所以只要得到估计值{k,k,k,k}，即可通过2D-FFT获得k.
　　将估计值k代入式(11)后，估计值{k,k,k,k}可由下式寻优得到：

　(13)

　　由上式可见，对于固定的{μk,vk}取值,估计值{k,k}为归一化的周期图|aHM(ωk)Zkb*N(k)|2/(MN)主峰处的二维频率值.这样，式(13)的优化问题归结为：在(μk,vk)平面上可能的取值范围内寻找一点{k,k}，在该点处周期图|aHM(ωk)Zkb*N(k)|2/(MN)的主峰值比其余各点处的主峰值都大.所以，我们通过上述二维寻优获得{μk,vk}的估计值{k,k}，再由式(13)得到{ωk,k}的估计值{k,k}.
　　实际中，为了加快运算速度，二维(μk,vk)平面的寻优可以用Matlab中的函数Fmin()实现.
　　在做了以上的准备工作以后，基于推广的RELAX算法的参量估计步骤如下：
　　第一步：假设信号数K=1,分别利用式(13)和式(12)计算1.
　　第二步(2)：假设信号数K=2，首先将第一步计算所得到的1代入式(8)求出Y2，再利用式(13)和式(12)计算2；将计算的2代入式(8)求出Y1，然后利用式(13)和式(12)重新计算1，这个过程反复叠代，直至收敛.
　　第三步:假设信号数K=3,首先将第二步计算所得到的1和2代入式(8)求出Y3，再利用式(13)和式(12)计算3；将计算的3和2代入式(8)求出Y1，然后利用式(13)和式(12)重新计算1；将计算的1和3代入式(8)求出Y2，然后利用式(13)和式(12)重新计算2，这个过程反复叠代，直至收敛.
　　剩余步骤：令K=K+1,上述步骤持续进行，直到K等于待估计信号数.
　　上述过程中的收敛判据与RELAX算法的收敛判据相同，即比较代价函数C1在两次叠代过程中的变化值，如果这个变换值小于某个值，如ε=10-3，则认为过程收敛.

四、数值模拟
　　1.算法参数估计性能模拟
　　模拟数据由式（5）产生，M=10,N=10，信号数K=2.信号参数和实验条件如表1所示,为复高斯白噪声.注意两信号的频率差小于FFT的分辨率Δf=Δω/(2π)=0.1.表1给出了信号参塑封电感数估计均方根误差的统计结果及相应情形时的C-R界，可见，估计均方根误差与CR界十分接近.另外表中还给出了估计均值，与真实值也非常接近.

表1　二维信号的参数估计、CRB及与均方根差的比较